Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con Serre

tr ó tí ữ s ợ t tí rt ỉ r r
n é t ể H
n
I
(M) rt số depth(IR
p
, M
p
) é t ớ
p Supp(M/IM) \ {m}. ó

ứ
n í ộ s ọ f-depth(I, M) ủ M tr I ế t
ị ĩ ệ ộ s s rộ ủ M tr
I í ệ gdepth(I, M) ỉ r r gdepth(I, M) í n
é t ể Supp H
n
I
(M)
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr
n é t ể H
n
I
(M) / S ớ S ột trù rr M
R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ
ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt ó
ủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

n é t ể H
n
I
(M) / S ớ S ột trù rr M
R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ
ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt ó
ủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ
ụ í ủ trì ết q tr ủ r
r rss tr s rr
strs r r
ó ề trù rr
ột số ị ề ố ồ ề ị trì
ề S Sộ s ết q ề ố ồ ề ị
tr ờ ột ỏ H
i
I
(M) S?
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

P trù rr ột số ị
ề ố ồ ề ị
r sốt R ột tr M
R
P trù rr S
ị ĩ S ớ rỗ ữ R ọ S
ột trù rr ủ trù R ế ớ ỗ ớ
R 0 M

M M

0 t ó M S ỉ
M

, M

S.
ổ ề sử S ột trù rr ủ trù R
ó S ó í ớ é t
Ext
i
R
(N, M) S ớ ọ R ữ s N ọ M S.
ứ M S N ữ s ỉ ứ
Ext
i
R
(N, M) S N ữ s R tr N ó
ột tự
. . . F
2
F
1
F
0
N 0,

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

tr ó ỗ F
i
tự ữ s ộ tử ế
Hom(, M) tự ủ N ở tr t ợ ố ứ
0 Hom(F
0
, M)
f
0
Hom(F
1
, M)
f
1
Hom(F
2
, M)
f
2
. . . .
ị ĩ ủ ở rộ t ó
Ext
i
R
(N, M) = Ker f
i
/ Im f
i1
,i = 0, 1, 2, . . .
ớ ỗ i, ì F
i
tự ữ s F
i

=
R
n
i
. ó
Hom(F
i
, M) = Hom(R
n
i
, M) =

Hom(R, M)

n
i
= M
n
i
.
q t n
i
từ ớ 0 M
n
i
1
M
n
i
M 0
t s r M
n
i
S. ó Hom(F
i
, M) S. r Ker f
i
S. r
Ext
i
R
(N, M) S.
ớ ỗ R M t ọ ủ M í ệ ở Supp M t
Supp M = {p Spec R | M
p
= 0}.
í ụ ớ s ữ trù rr ủ trù
R
ớ ồ ột 0.
ớ R rt
ớ R tr
ớ R M ó t ữ
ớ R ó ộ ữ
ứ ì t ủ 0 0
ị ể
sử M rt N ủ M. ó ỗ
ữ ủ N ũ ữ ủ M ó
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ó ừ ì tế N rt ì ỗ ữ ủ
M/N t ứ ớ ột ữ ủ M ữ N ì tế
ừ ó M/N rt ợ N
ủ M s N M/N rt M
0
M
1
. . . ột
ữ ủ M. ó t ó M
0
N M
1
N . . .
ủ N
(M
0
+ N)/N (M
1
+ N)/N . . .
ủ M/N. ì N M/N rt tồ t số tự
k s M
n
N = M
k
N (M
n
+ N)/N = (M
k
+ N)/N ớ
ọ n k. n k. ó M
k
M
n
. m M
k
. ó
m+N (M
k
+N)/N = (M
n
+N)/N. r m+N = x+a+N = x+N
ớ x M
n
, a N. ó mx NM
k
= NM
n
. r mx M
n
.
ó m M
n
. r M
k
= M
n
ớ ọ n k. ì tế M rt
ớ rt ột trù rr
ứ t tự
sử M ột R N ủ M. ễ
ể tr ợ Supp M = Supp N Supp(M/N). ì tế ế M ó
ữ tì Supp N Supp(M/N) ữ ợ ế Supp N
Supp(M/N) ữ tì Supp M t ữ ớ
ó ữ ột trù rr
ế M ó ộ ữ tì ọ ọ t
ủ M ũ ó ộ ữ ợ ế N ủ M
s N M/N ó ộ ữ tì (M) = (N) + (M/N) < .
ì tế ớ R ó ộ ữ ột trù rr
r ột tố p
0
p
1
. . . p
n
ủ R s
p
i
= p
i+1
ớ ọ i ợ ọ ột tố ộ n
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ọ ề r ủ R í ệ dim R, tr ủ ộ ủ
tố ủ R tứ
dim R = sup{n | tồ t ột tố ủ R ộ n}.
ớ ỗ I ủ R t í ệ Var(I) t tố ủ
R ứ I. ớ ỗ R M t t
dim Supp M = sup{dim R/p : p Supp M}.
ọ dim Supp M ề ủ ủ M
ú ý sử M ữ s ề r ủ M í ệ
dim M ề r ủ R/ Ann M. ì M ữ s
Supp M = Var(Ann M) ó t ó
dim Supp M = sup{dim(R/p) | p Supp M} = dim(R/ Ann M).
ì tế ề ủ ủ M í ề r ủ M r trờ ợ
t ết dim M t dim Supp M.
M = 0 R rt tì Supp M ột t ữ ồ
ữ tố ủ R ì tế dim Supp M = 0.
P tế t ột số í ụ ề trù rr
í ụ ớ ỗ số tự s ớ R M s dim Supp M
s ột trù rr ủ trù R
ứ M R N ủ M ì Supp M =
Supp N Supp(M/N)
dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.
ề ứ tỏ r dim Supp M s ế ỉ ế dim Supp N s
dim Supp(M/N) s ớ M tỏ tí t
dim Supp M s t ột trù rr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

í ệ Max R t tố ủ R ở tr ế M
rt tì Supp M Max R Supp M t ữ ề
ợ ú tứ ó ữ M ớ Supp M Max R
Supp M t ữ M rt
ét ề ét ột tr ột trờ
rt ủ ó ồ ú ột tố ử ụ í ụ
tr trờ ợ s = 0 t ợ trù rr s
í ụ ớ R M ớ Supp M Max R ột
trù rr P trù rr ứ tt R rt t
ọ ó trù R ử rt srt s
r ột tố p ủ R ợ ọ
tố ết ủ R M ế tồ t m M s
p = Ann
R
m = {r R | rm = 0}.
tố ết ủ M ợ í ệ Ass M ú
ý r Ass M Supp M ữ ì R tr t ó
min Ass M = min Supp M.
Z ột t ủ ổ tố Spec R ủ R. ó Z
ó ớ é ệt ó ế p Z é t q Z ớ ọ
tố p, q Spec R s p q
í ụ sử Z Spec R ó ớ é ệt ó ó
ớ R M ớ Ass M Z ột trù rr
ứ M R N ủ M. ì R
tr Ass N Ass M Ass NAss(M/N). ì tế ế Ass N
Z Ass(M/N) Z tì Ass M Z. ợ Ass M Z.
ó Ass N Z. ứ Ass(M/N) Z. ì Ass M Z
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

min Ass M = min Supp M min Supp M Z. Z ó ớ é
ệt ó t ó Supp M Z. ì
Supp M = Supp N Supp(M/N)
Supp(M/N) Z. r Ass(M/N) Supp(M/N) Z.
ớ ỗ M t Supp M ó ớ é ệt ó t
ế p, q Spec R p q p Supp M tì
0 = M
p

=
(M
q
)
pR
q
.
ì tế M
q
= 0 tứ q Supp M. ó t í ụ t ó
trù rr s
í ụ ế Z Spec R ó ớ é ệt ó tì ớ
R M ớ Supp M Z ột trù rr
ề ệ C
I
tr trù rr S
I ột ố ị ủ R M R ú t sẽ
ét ột ề ệ ữ í s tr trù rr ủ
trù R r ớ ỗ R M t ị ĩ

I
(M) =

n0
(0 :
M
I
n
), tr ó 0 :
M
I
n
= {m M | I
n
m = 0}.
ị ĩ S trù rr ủ trù R
ó r S tỏ ề ệ (C
I
) ế M S ớ ọ R M
tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M
I S
rớ r ột t ể ột trù rr t
ề ệ (C
I
) ú t ột số ệ q ế
ộ ột R E ợ ọ ộ ế ớ ỗ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

f : N M ỗ ồ g : N E tồ t ột ồ
h : M E s g = hf. E ột R M
ủ E. ó E ột ở rộ ốt ế ủ M ế M L = 0 ớ
ọ L = 0 ủ E. ó E ộ ủ M ế E ột
ở rộ ốt ế ủ M E ộ ú ý r ỗ R
M ề ó ộ ộ ủ M ị t s
ột ì tế t í ệ ộ ủ M E
R
(M) E(M).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ế S ó ớ é ộ tì S tỏ ề ệ (C
I
).
ứ sử M ột R ó tí t M =
I
(M)
0 :
M
I S ứ M S. ì M =
I
(M) ộ
E(M) ủ M í ộ E(0 :
M
I) ủ 0 :
M
I. ì 0 :
M
I S
S ó ớ é ộ E(0 :
M
I) S r E(M) S.
ú ý r M E(M). ữ S trù rr ó t ổ ề
t ó M S.
ột t ể ột trù rr tỏ ề
ệ (C
I
).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ó S tỏ ề ệ (C
I
) ế ỉ ế M S ớ ọ R
M tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M
x S ớ tử x
ó tr I
ứ sử S tỏ ề ệ (C
I
). M ột R
ó tí t M =
I
(M) 0 :
M
x S ớ x I. ì 0 :
M
I 0 :
M
x
S trù rr t ổ ề t ó 0 :
M
I S.
S tỏ ề ệ (C
I
) M S. ợ M R
s M =
I
(M) 0 :
M
I S. ết I = (x
1
, . . . , x
n
). t
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

M
0
= M M
i
= 0 :
M
(x
1
, . . . , x
i
)R ớ i = 1, . . . , n. ứ
q ù t i r M
i
S ớ ọ i = n, . . . , 1, 0.
tết M
n
= 0 :
M
I S, ết q ú i = n. ớ i < n, tết
q r M
i+1
S. ì M
i+1
= 0 :
M
i
x
i+1
S x
i+1
I
t tết t s r M
i
S. M
i
S ớ ọ i. ọ i = 0 t ó
M S.
P ố ủ tết ú t ét tr trù
rr ở í ụ trù tỏ
ề ệ (C
I
).
í ụ trù rr ủ trù R s
tỏ ề ệ (C
I
).
P trù rr ồ ột 0.
P trù rr ồ R rt
P trù rr ồ R M ó Supp M t ữ

P trù rr ồ R ử rt R M
s Supp M Max R).
P trù rr ồ R M ớ dim Supp M s
tr ó s 0 ột số trớ
P trù rr ồ R M ớ Ass M Z, tr ó
Z Spec R ột t ó ớ é ệt
ứ ì ộ ủ 0 0 trù
ó ớ é ộ ì tế t ổ ề t ó ết q
ổ ề t ỉ ứ ộ ủ ỗ
rt rt sử M R rt ó Ass M Max R
Ass M t ữ ết Ass M = {m
1
, . . . , m
t
}. í ệ E(M)
ộ ủ M E
i
= E(R/m
i
) ộ ủ trờ t R/m
i
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Xem chi tiết: Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con Serre