LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "thuật toán tìm cơ sở của các môđun con của môđun tự do hữu hạn sinh trên vành chính": http://123doc.vn/document/1051996-thuat-toan-tim-co-so-cua-cac-modun-con-cua-modun-tu-do-huu-han-sinh-tren-vanh-chinh.htm
Chương 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
2.1 Các kết quả về vành chính
2.1.1 Định nghĩa vành chính
Một miền nguyên được gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là iđêan chính.
Miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị,
không có ước của 0 (sẽ định nghĩa dưới đây).
Iđêan chính là iđêan sinh ra bởi một phần tử.
2.1.2 Các tính chất số học trên vành chính
Tính chia hết
Giả sử R là một vành giao hoán. Ta nói phần tử a ∈ R là bội của một phần tử
b ∈ R hay a chia hết cho b, kí hiệu a
.
.
. b, nếu có c ∈ R sao cho a = bc; ta còn nói
rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b | a.
Như vậy, theo định nghĩa trên, mọi phần tử x ∈ R là ước của 0; nhưng ta lại
định nghĩa:
Một phần tử a = 0 được gọi là ước của 0 nếu có b = 0 sao cho ab = 0.
Một số tính chất cơ bản về tính chia hết:
• a | a.
4
• c | b và b | a kéo theo c | a.
• u khả nghịch, u | a với mọi a.
• Nếu b | u với u khả nghịch, thì b khả nghịch.
• Quan hệ S xác định như sau: xSx
khi x
= ux với u khả nghịch, là một quan
hệ tương đương; x và x
gọi là liên kết.
x và x
là liên kết khi và chỉ khi x | x
và x
| x.
Kí hiệu: Ra = {xa, x ∈ R}, ta có: a | b khi và chỉ khi Ra ⊃ Rb.
x và x
liên kết khi và chỉ khi Rx = Rx
. Đặc biệt: u khả nghịch khi và chỉ khi
Ru = R.
Ta gọi các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước các ước
không thực sự của x, còn các ước khác của x là các ước thực sự của x.
Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của R; x gọi là một phần
tử bất khả quy của R nếu x không có ước thực sự.
Định nghĩa 1 Nếu c | a và c | b thì c gọi là ước chung của a và b. Phần tử c gọi
là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của a và b nếu c là ước chung của a và b, đồng
thời mọi ước chung của a và b đều là ước của c.
Hai ước chung lớn nhất của a và b là liên kết với nhau, do đó có thể coi là
bằng nhau nếu không kể nhân tử khả nghịch.
Tương tự ta định nghĩa ước chung lớn nhất của ba phần tử trở lên như sau:
Định nghĩa 2 Cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
là những phần tử của vành chính R. Nếu c | a
i
với mọi i = 1, 2, . . . , n thì ta nói c là ước chung của a
1
, a
2
, . . . , a
n
.
c sẽ được gọi là ước chung lớn nhất của a
1
, a
2
, . . . , a
n
nếu c là ước chung của
a
1
, a
2
, . . . , a
n
và mọi ước chung khác đều là ước của c.
5
Trong các kết quả dưới đây chúng ta luôn xét R là vành chính và các phần tử là
thuộc vành chính R
Định lý 1 Với R là vành chính thì ước chung lớn nhất của hai phần tử a, b bất
kỳ luôn tồn tại.
Chứng minh
Gọi I là iđêan sinh ra bởi a và b. Các phần tử thuộc I có dạng ax + by với
x, y ∈ R.
Mặt khác vì R là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào đó, phần
tử d cũng thuộc I nên d có dạng
d = ax + by, x, y ∈ R (1)
Ta sẽ chứng minh d là ước chung của a và b. Thật vậy: vì a, b ∈ I = Rd nên
a = a
d và b = b
d với a
, b
∈ R. Vậy d là ước chung của a và b.
Nếu c là một ước chung khác của a và b thì ta có a = ca
và b = cb
với
a
, b
∈ R.
Lúc bấy giờ (1) sẽ trở thành: d = c(a
x + b
y).
Suy ra c là ước của d.
Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b.
Hệ quả 1 Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b, thì có r, s ∈ R sao cho
e = ra + sb
Hai phần tử a, b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1 làm ước
chung lớn nhất.
Theo hệ quả trên: nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì tồn tại r, s ∈ R sao cho
1 = ra + sb
Các kết quả trên đều có thể dễ dàng mở rộng cho n phần tử, với n ≥ 2:
Nếu R là vành chính thì ước chung lớn nhất của n (n ≥ 2) phần tử bất kỳ
a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ R luôn tồn tại.
6
Nếu d là ước chung lớn nhất của a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ R thì tồn tại r
1
, r
2
, . . . , r
n
∈ R
sao cho:
d = r
1
a
1
+ r
2
a
2
+ · · · + r
n
a
n
Hệ quả 2 Nếu c | ab và c, a nguyên tố cùng nhau, thì c | b.
Chứng minh
Vì a, c nguyên tố cùng nhau nên từ hệ quả vừa nêu trên ta có r, s ∈ R sao cho
1 = ar + cs
Nhân 2 vế đẳng thức với b:
b = abr + bcs
Vì c | ab nên có q ∈ R sao cho ab = cq. Do đó
b = c(qr + bs)
tức là c | b.
Tính chất Nếu d là ước chung lớn nhất của a, b, thì a = da
, b = db
với a
, b
∈ R
và a
, b
nguyên tố cùng nhau.
Thật vậy:
Vì d là ước chung của a và b nên a = da
và b = db
với a
, b
∈ R.
Gọi e là ước chung lớn nhất của a
và b
, ta có a
= ea
1
, b
= eb
1
. Từ đây suy ra:
a = dea
1
, b = deb
1
Tức là de là ước chung của a và b. Vì d là ước chung lớn nhất nên de | d, do đó
e | 1. Như vậy ước chung lớn nhất của a
, b
là 1 hay a
, b
nguyên tố cùng nhau.
2.2 Các kết quả về môđun
2.2.1 Định nghĩa môđun và môđun con
Cho vành R có đơn vị (đơn vị của R kí hiệu là 1). Nhóm cộng aben (X, +) sẽ
được gọi là môđun trái trên vành R nếu trên X ta đã xác định được một tác động
7
trái từ R, tức là có ánh xạ µ : R → X, ta kí hiệu µ(r, x) = rx và gọi là tích của hệ
tử r với phần tử x. Ngoài ra các tiên đề sau cần được thỏa mãn với mọi x, y ∈ X
và r, s ∈ R:
1. 1.x = x,
2. (rs)x = r(sx),
3. r(x + y) = rx + ry,
4. (r + s)x = rx + sx.
Tác động trái từ R vào X còn gọi là phép nhân ngoài từ R vào X. Vành R gọi
là vành hệ tử hay vành các vô hướng.
Môđun trái được gọi đơn giản là môđun.
Mỗi nhóm cộng aben (A, +) luôn có thể xem là môđun trái trên vành các
số nguyên Z với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: với mỗi n > 0,
na = a + a + . . . + a ( n số hạng) và (−n)a = −na, 0.a = 0. Có thể dễ dàng kiểm tra
phép nhân ngoài này thỏa mãn các tiên đề 1) đến 4).
Nếu A, B là các tập con của một môđun X và K ⊂ R với A, B, K = ∅, ta định
nghĩa:
A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}; KA = {ra|r ∈ K, a ∈ A}
Nếu A + A ⊂ A và RA ⊂ A thì ta nói A là bộ phận ổn định của X. Mỗi bộ phận
ổn định của môđun X cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một môđun,
gọi là môđun con của X.
Nếu A, B là các môđun con của môđun X. Khi đó A + B là môđun con của
X.
Mỗi nhóm con của nhóm aben có thể xem là Z-môđun con.
2.2.2 Môđun con sinh bởi một tập
Giao của một họ khác rỗng các môđun con của X lại là môđun con của X.
8
Xét S là một tập con của môđun X. Xét họ T tất cả các môđun con của X
chứa S. Hiển nhiên T khác rỗng vì X ∈ T . Giao của họ T là một môđun con của
X, chứa S, gọi là môđun con của X sinh bới tập S (kí hiệu < S >) và S được gọi
là tập sinh hay hệ sinh của môđun < S >.
Từ cách xác định trên đây có thể thấy là < S > là môđun con nhỏ nhất
trong X chứa S, có nghĩa là < S > được chứa trong mọi môđun con của X chứa
S.
Để mô tả < S > với S = ∅ ta định nghĩa một tổ hợp tuyến tính của S là một
tổng hữu hạn dạng:
r
1
x
1
+ r
2
x
2
+ . . . + r
n
x
n
trong đó r
1
, r
2
, . . . , r
n
∈ R và x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ S.
Có thể dễ dàng chứng minh được: “Môđun con sinh bởi tập S ⊂ X, S = ∅
là môđun con gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S.”
2.2.3 Môđun thương
Cho X là môđun và A ✁ X. Khi đó (A, +) là nhóm con của nhóm (X, +) và do
đó A là nhóm con chuẩn tắc của X. Theo lý thuyết nhóm, ta có thương (X/A, +)
và do X giao hoán nên nhóm cộng X/A cũng giao hoán.
Ta xác định trên X/A phép nhân ngoài từ R như sau:
∀r ∈ R, ∀x + A ∈ X/A : r(x + A) = rx + A
Với phép nhân ngoài trên X/A có cấu trúc R-môđun và được gọi là môđun thương
của môđun X theo môđun con A.
2.2.4 Đồng cấu môđun
Cho X, Y là các R-môđun. Ánh xạ f : X → Y được gọi là R-đồng cấu nếu với
mọi x, x
1
, x
2
∈ X và với mọi r ∈ R:
f(x
1
+ x
2
) = f(x
1
) + f(x
2
)
f(rx) = rf(x)
9
Ta cũng gọi ker f = f
−1
(0) ✁ X là hạt nhân của đồng cấu f. Imf = f(X) ✁ Y là
ảnh của đồng cấu f.
2.2.5 Tổng trực tiếp của hai môđun
Cho A, B là các R-môđun. Trên tập tích Descartes A × B ta đưa vào hai phép
toán cộng và nhân ngoài như sau:
= (a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
)
r(a, b) = (ra, rb)
với mọi (a
1
, b
1
), (a
2
, b
2
), (a, b) ∈ A × B và mọi r ∈ R.
Dễ dàng kiểm tra A× B cùng với hai phép toán xác định như trên thỏa mãn
tất cả các yêu cầu của một R-môđun. Ta gọi đó là môđun tổng trực tiếp của hai
môđun A, B và kí hiệu là A ⊕ B.
Tổng trực tiếp của hai môđun A, B đôi khi còn được gọi là tích trực tiếp và
kí hiệu là A × B.
2.2.6 Tổng trực tiếp trong của hai môđun
Cho A, B là các môđun con của môđun X thỏa các tính chất:
1. A ∩ B = ∅,
2. A + B = X.
Khi đó ta có đẳng cấu: X
∼
=
A ⊕ B.
Thay cho dấu
∼
=
ta có thể viết X = A⊕B và ta nói X là tổng trực tiếp trong
của hai môđun con A, B.
Môđun X là tổng trực tiếp trong của hai môđun con A và B khi và chỉ khi với
mỗi x ∈ X có một và chỉ một cách biểu diễn x = a + b với a ∈ A, b ∈ B.
Môđun con A của X được gọi là hạng tử trực tiếp của X nếu có môđun con
B ✁ X sao cho X = A ⊕ B. Khi đó B cũng được gọi là hạng tử bù trực tiếp của
môđun con A
10
2.2.7 Tổng trực tiếp của họ môđun
Cho họ không rỗng các tập hợp {A
i
}
i∈I
. Tích Descartes của họ tập hợp {A
i
},
kí hiệu là
i∈I
A
i
là tập hợp các hàm x : I −→ ∪A
i
sao cho x(i) ∈ A
i
, ∀i ∈ I.
Bởi mỗi hàm x ∈
A
i
được xác định một cách duy nhất bởi bộ giá trị
((x(i))
i∈I
nên ta có quyền đồng nhất hàm x với bộ giá trị (x(i)) của nó. Và ta kí
hiệu x
i
= x(i) thì phần tử của
A
i
là bộ x = (x
i
)
i∈I
với điều kiện x
i
∈ A
i
, ∀i ∈ I.
Vậy:
i∈I
A
i
= {(x
i
)
i∈I
|x
i
∈ A
i
, ∀i ∈ I}
Đôi khi để tránh rườm rà, bộ x = (x
i
)
i∈I
được viết gọn thành x = (x
i
).
Với họ bất kỳ khác rỗng các môđun {X
i
}
i∈I
trên cùng vành hệ tử R; ta xác
định trên tập tích Descartes
X
i
các phép toán sau:
• (x
i
) + (x
i
) = (x
i
+ x
i
)
• r(x
i
) = (rx
i
)
với mọi (x
i
), (x
i
) ∈
X
i
và mọi r ∈ R.
Bấy giờ,
X
i
cùng với hai phép toán trên lập thành một môđun, gọi là môđun
tích trực tiếp của họ {X
i
}.
Cho họ không rỗng các môđun {X
i
}
i∈x
. Xét tập con của
X
i
gồm các bộ
x = (x
i
) mà hầu hết các thành phần x
i
= 0, trừ ra một số hữu hạn.
Dễ thấy đó là tập con ổn định trong
X
i
, và do vậy nó là môđun con. Ta
gọi đó là môđun tổng trực tiếp của họ {X
i
} và kí hiệu là: ⊕
i∈I
X
i
hay ⊕X
i
2.2.8 Tổng trực tiếp trong của họ môđun con
Nếu họ {X
t
}
t∈I
các môđun con của môđun X thỏa:
1.
X
t
= X,
2. X
t
∩
i=t
X
i
= 0, ∀t ∈ I.
thì khi đó: X
∼
=
⊕X
t
.
Trong trường hợp này, ta viết X = ⊕X
t
và gọi X là tổng trực tiếp trong của
họ môđun {X
t
} của nó.
11
2.2.9 Dãy khớp và dãy khớp ngắn
Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)
· · · → A
f
→ B
g
→ C → · · · (1)
được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf = ker g, tức là ảnh đồng cấu vào tại đó
bằng hạt nhân của đồng cấu ra.
Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại
đó vừa có đồng cấu vào, vừa có đồng cấu ra.
Dãy các đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun
trung gian.
Ta gọi dãy khớp có dạng:
0 → A
χ
→ B
σ
→ C → 0 (2)
là dãy khớp ngắn.
Để kiểm tra tính khớp của dãy (2) ta cần kiểm tra: χ là đơn cấu, σ là toàn cấu
và ker σ =Imχ.
2.2.10 Dãy khớp ngắn chẻ
Dãy khớp các đồng cấu:
· · · → A
f
→ B
g
→ C → · · · (1)
được gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức là
tồn tại môđun con B
1
sao cho B =Imf ⊕ B
1
.
Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
Một dãy khớp ngắn
0 → A
χ
→ B
σ
→ C → 0
là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.
12
Đối với mỗi dãy khớp ngắn
0 → A
χ
→ B
σ
→ C → 0
ba phát biểu sau là tương đương:
(i) Dãy là chẻ ra.
(ii) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái.
(iii) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.
Nếu dãy khớp · · · → A
f
→ B
g
→ C → · · · chẻ ra tại B thì ta có:
B
∼
=
Imf ⊕ Img
.
2.2.11 Môđun tự do
Cơ sở môđun
Cho môđun X. Tập S ⊂ X được gọi là hệ sinh của X nếu < S >= X. Nói cách
khác, S là hệ sinh của X nếu với bất kì phần tử x ∈ X thì
x = r
1
s
1
+ r
2
s
2
+ · · · + r
n
x
n
với r
1
, r
2
, . . . , r
n
∈ R và s
1
, s
2
, . . . , s
n
∈ S, tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của S.
Tập hợp S ⊂ X được gọi là độc lập tuyến tính nếu phần tử 0 ∈ X thỉ có một
cách biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S, đó là tổ hợp tuyến tính tầm
thường với tất cả các hệ tử đều bằng 0. Nói cách khác, S là độc lập tuyến tính
nếu
r
1
s
1
+ +r
2
s
2
+ · · · + r
n
s
n
= 0 kéo theo r
1
= r
2
= . . . = r
n
= 0.
Khi S ⊂ X không là độc lập tuyến tính, ta nói S là phụ thuộc tuyến tính. Như
vậy, tập S phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại ít nhất một tổ hợp tuyến tính không
tầm thường của S bằng 0. Nói cách khác, tồn tại các phần tử s
1
, s
2
, . . . , s
n
∈ S và
các hệ tử r
1
, r
2
, . . . , r
n
∈ R không đồng thời bằng 0 mà:
r
1
s
1
+ r
2
s
2
+ · · · + r
n
s
n
= 0
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét