TRNG CAO NG S PHM H TY
Phần II : NộI DUNG
CHƯƠNG I: Những kiến thức cơ sở
1. Phơng pháp quy nạp toán học.
Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ( Số học, Đại số, Hình học ) ta
thờng gặp bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề
đúng với mọi giá trị nguyên dơng của biến n. Khi đó ta có phơng pháp chứng minh
quy nạp cho mệnh đề trên.
Cụ thể để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi
số nguyên dơng n ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi n =1.
Bớc 2: Với k là số nguyên dơng tùy ý, Xuất phát từ giả thiết A(n) là
mệnh đề đúng khi n = k. ta chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi
n = k+1
2. Một số kiến thức về chia hết trên tập số nguyên.
2.1 Định nghĩa.
Cho hai số nguyên a và b với a 0 ta nói b chia hết a (hay a chia hết cho b) nếu
tồn tại số nguyên c sao cho a=b.c, khi đó b đợc gọi là ớc của a và a đợc gọi là bội
của b, nếu a chia hết cho b, ta thờng kí hiệu b/a hoặc a
b.
2.2 Tính chất .
Từ đây trở đi chúng ta phát biểu các kết quả trên tập số nguyên Z.
Tính chất 2.2.1: Nếu a
b và b
c thì a
c.
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
5
TRNG CAO NG S PHM H TY
Tính chất 2.2.2: Nếu a và b cùng chia hết cho m ( m0) thì (a+b)
m
và (a-b)
m.
Hệ quả 2.2.3 : Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số đấy
chia hết cho m, thì số cọn lại cũng chia hết cho m.
Hệ quả 2.2.4 : Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không
chia hết cho m thì. a + b
m và a b
m
Tính chất 2.2.5 : Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích đó chia hết cho
m.
Tính chất 2.2.6 : Nếu a
m và b
n thì a.b
m.n .
Hệ qủa 2.2.7 : Nếu a
b thì a
n
b
n
Hệ qủa 2.2.8 : Cho hai số nguyên tố a và b ( b 0) . Nếu có số nguyên c (c
0) sao cho a = b . c thì a
c
2.3 Một số dấu hiệu chia hết:
Gọi A =
0121
aaaaa
nn
. khi đó ta có:
1> A
2 <=> a
0
2
2> A
5 <=> a
0
5
3> A
4 <=>
01
aa
4
4> A
25 <=>
01
.aa
25
5> A
8 <=>
012
aaa
8
6> A
125 <=>
012
aaa
125
7> A
3 <=>
=
n
i
i
a
0
3
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
6
TRNG CAO NG S PHM H TY
8> A
9 <=>
=
n
i
i
a
0
9
9> A
11 <=> (a
n
+ a
n-2
+ + a
2
+a
0
)
- (a
n 1
+ a
n-3
+ + a
3
+ a
1
)
11
2.4 Một số khái niệm cơ bản:
Định nghĩa 2.4.1 : Số nguyên tố là số nguyên dơng lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và
chính nó.
Định nghĩa 2.4.2 : Hợp số là số nguyên dơng khác 1 và không là số nguyên tố.
Định nghĩa 2.4.3 : Hai số nguyên a, b đợc gọi là số nguyên tố cùng nhau khi và
chỉ khi ớc chung lớn nhất của chúng bằng 1.
Kí hiệu là ƯCLN (a,b) = 1 hay (a,b) = 1.
2.5 Một số lu ý về chữ số tận cùng:
i. Các số có tận cùng là 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa khác 0 cũng tận cùng
bằng 0 ; 1 ; 5 ; 6 .
ii. Các số có tận cùng là 2 ; 4 ; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì đợc chữ số tận cùng là
6.
iii. Các số có tận cùng là 3 ; 7 ; 9 nâng lên lũy thừa 4 thì đợc số tận cùng
bằng 1.
2.6 Tính chất hằng đẳng và nhị thức newton:
i. a
n
b
n
= (a b).( a
n-2
+ a
n-2
.b + + a.b
n-2
+ b
n-1
)
ii. a
n
+ b
n
= (a + b).(a
n-1
a
n-2
.b + + a.b
n-2
- b
n-1
)
iii. (a + b)
n
= a
n
+ C
1
n
.a
n-1
.b + + C
1
n
n
.a.b
n-1
+ b
n
)
n
N.
Ta kí hiệu BS x là bội số nào đó của số nguyên x, khi đó ta có:\
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
7
TRNG CAO NG S PHM H TY
i. (a+b)
n
= Bsa + b
n
(*).
ii. (a + 1)
n
= BSa + 1
iii. (a 1)
2n
= BSa +1
iv. (a 1)
2n+1
= BSa -1
Ta chứng minh (*) :
(a + b)
n
= a
n
+ C
1
n
.a
n-1
.b + + C
1
n
n
.a.b
n-1
+ b
n
)
= Bsa + b
n
Vậy (*) đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta dợc các kết quả còn lại.
3> Kiến thức chứng minh phản chứng:
Phản chứng là phơng pháp chứng minh gián tiếp. Nội dung của nó là để chứng
minh kết quả bài toán là đúng ta đi chứng minh điều trái lại với nó là sai.
Cụ thể ta phải thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Giả sử có điều trái lại với kết luận của bài toán
Bớc 2: Từ điều giả sử trên và từ giữ kiện của bài toán ta đi đến điều
mâu thuẫn vơí giả thiết hay với kiến thức đã biết.
Bớc 3: Khẳng định kết luận của bài toán là đúng.
4> Nguyên lý Đirichlê:
Đây là phơng pháp giúp ta khẳng định sự tồn tại hoặc không tồn tại của một sự
việc nào đó.
Nội dung cuả phơng pháp này là: Nếu ta nhốt n chú thỏ vào n - 1 cái lồng thì
tồn tại 1 cái lông có từ hai chú thỏ trở lên.
Một cách tổng quát:
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
8
TRNG CAO NG S PHM H TY
Nếu nhốt n chú thỏ vào k cái lồng mà phép chia
k
n
còn d thì tồn tại một cái
lồng chứa
1
+
k
n
chú thỏ trở lên.
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
9
TRNG CAO NG S PHM H TY
CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH
BàI TOáN CHIA HếT TRÊN TậP Số NGUYÊN
Chứng minh bài toán chia hết trên tập số nguyên Z là một bài toán cơ bản
trong chơng trình số học. Song các bài toán chứng minh chia hết rất phong phú đa
dạng. Đê thấy đợc cách giải quyết các bài toán đó cần phải đợc trang bị các phơng
pháp chứng minh cơ bản.
Để thực hiện đợc điều đó, tôi xin đề xuất một phơng pháp chứng minh chia hết
trên tập số nguyên Z.
1. Phơng pháp quy nạp toán học:
Bài toán 1.1: Chứng tỏ răng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho
2.
Chứng minh:
Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (n
N) ta cần chứng minh một
trong hai số n hoặc n +1 chia hết cho 2.
Xét tích n.(n+1) kjhi đó cần chứng minh tơng đơng
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
10
TRNG CAO NG S PHM H TY
n.(n+1)
2 (1)
+> Với n=1 khi đó n.(n + 1) = 1.2 =2
2 suy ra (1) luôn đúng
+> Giả sử (1) đúng với n=k , k>1
N hay k.(k + 1)
2. Ta cần chứng minh (1)
đúng với n = k + 1 tức là chứng minh :
(k+1).(k+2)
2
Thật vậy ta có : (k + 1).(k + 2) = k(k + 1) + 2.(k + 1).
Theo giả thiết quy nạp ta có k(k + 1)
2 mà 2.(k + 1)
2
Nk
suy ra (k +1). ( k + 2)
2 hay (1) đợc chứng minh.
Nhận xét 1.1 :
i. ở bài toán này khi ta sử dung phơng pháp quy nạp, ta dễ dang da ra điều cần
chứng minh băng cách phân tích biểu thức cần chứng minh qua giả thiết đã có
ii. Bài toán có cách giải khác dợc giới thiệu ở phần sau từ bài toán trên ta có bài
toán tổng quát sau:
Bài toán 1.2 : Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hế cho n
Chứng minh :
Giả sử có n số tự nhiên liên tiếp n là (p + 1) ; (p + 2) ; ; (p +n).
Ta cần chứng minh trong n số tự nhiên trên có một số chia hết co n
Xét tích: (p + 1).(p + 2) (p + n)
Điều cần chứng minh tơng đơng là (p + 1) ; (p + 2) ; ; (p +n)
n (**)
+> Với p = 1 ta có (1 + 1).(1 + 2) ( 1 + n)
n luôn đúng
+> Giả sử (**) đúng với p = k ; k>1
N ta có
(k + 1).(k + 2) ( k + k)
k (2)
Ta cần chứng minh (**) đúng với p = k +1
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
11
TRNG CAO NG S PHM H TY
Tức là chứng minh
(k + 1 + 1).( k +2) ( k +1 + k +1)
(k+1)
Thật vậy ta có:
(k + 1 + 1).( k +2) ( k +1 + k +1)
= (k + 2).(k + 3) ( 2k +2)
= 2(k +1).(k + 2) (2k + 1)
k+1
Vậy (** ) đợc chứng minh
Bài toán 1.3 : Chứng minh rằng tổng lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp
chia hết cho 9.
Chứng minh :
Giả sử ba số nguyên dơng liên tiếp đó là : n, n + 1, n + 2; n
+
Z
ta phải chứng minh :
n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
9 (3)
+> Với n = 1 ta có
1
3
+ (1 + 1)
3
+ (1 + 2)
3
= 1
3
+2
3
+ 3
3
= 36
9 nên (3) đúng
Giả sử (3) đúng với n = -k , k>1
+
Z
khi đó ta có
k
3
+ (k + 1)
3
+ (k + 2)
3
9
Thật vậy
(k + 1)
3
+ (k + 2)
3
+ (k + 3)
3
=(k +1)
3
+( k + 2)
3
+ k
3
+ 9K
2
+ 27K + 27
= K
3
+(K + 1)
3
+ (K +2)
3
+ 9K
2
+27K + 27
= K
3
+(K + 1)
3
+ (K +2)
3
+ 9(K
2
+3K + 3)
Mà theo giả thiết quy lạp ta có :
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
12
TRNG CAO NG S PHM H TY
K
3
+(k+1)
3
+(k+2)
3
9
+
zk
Mặt khác 9(k
2
+3k+3)
9
Vậy (k+1)
3
+(k+2)
3
+(k+3)
3
9 hay (3) đợc chứng minh.
*Nhận xét :
Từ hai bài toán trên ta thấy phơng pháp chứng minh quy nạp đợc sử dụng
thuận lợi và hiệu quả.
Việc sử dụng phơng pháp này để chứng minh có thể làm cho lời giải dài
dòng và đòi hỏi sự nhìn nhận tinh tế ở bớc 2 để chỉ ra điều cần chứng minh song
nó lại giúp học sinh tránh đợc các lỗi về diễn đạt và lý luận bài toán - Bớc mà học
sinh THCS còn lúng túng , đặc biệt là học sinh lớp 6.
*Để thấy rõ hơn tính u việt của phơng pháp quy nạp ta xem xét bài toán
sau.
Bài toán 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có.
a) 2n + 111 11
3 (4)
n chữ số
b) 10
n
+72n -1
8 (5)
Nhận xét : Ta thấy bài toán đợc xác định khi
Mn
.với những bài toán
cồng kềnh này học sinh sẽ nghĩ tới việc phảI phân tích tổng trên thành các số hạng
mà ở đó các số hạng đều chia hết cho 3.Nhng điều này không đơn giản,song với
bài toán này ta có thể sử dụng phơng pháp quy nạp.
Chứng minh :
a) 2n + 111 11
3 (4)
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
13
TRNG CAO NG S PHM H TY
n chữ số
+ ) với n = 1 khi đó : 2n + 111 11 = 2.1+1=3
3 vậy (4) đúng
n chữ số1
+) giả sử (4) đúng với n=k , k >1
N tức là
2k + 111 111
3
k chữ số 1
Ta chứng minh (4) đúng với n =k +1 tức là ta cần chứng minh
2(k+1) + 111 111
3
(k+1) chữ số
thật vậy: 2(k+1) +111 111 = 2k+2 +111 111
= 2k + 111.113 = 2k + 111 110 +3
theo dấu hiệu chia hết cho 3 và giả thiết quy nạp ta có:
2k +111 110
3
2(k+1) + 111 111
3
Vậy (4) đợc chứng minh.
b) 10
n
+72n-1
81 (5)
+)Với n=1 ta có
10
1
+72.1-1=81
81 do đó (5) đúng.
+)giả sử (5) đúng với n=k , k > 1
N.
10
k
+72.k-1
81
ta cần chứng minh (5) đúng với n=k+1 tức là chứng minh
Lấ TH HON KHOA T NHIấN Trang
SBD : 163
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét