Chơng 6.
Đạo hàm
10
4
Cho nên khi
x
> 0 thì
0
)()(
+
x
cfxcf
.
Khi
0
x
thì đại lợng này tiến tới
f'
(
c
).
Vậy
0
)()(
lim)('
0
+
=
x
cfxcf
cf
x
.
Khi
x
< 0 thì
0
)()(
+
x
cfxcf
.
Qua giới hạn ta đợc
0
)()(
lim)('
0
+
=
x
cfxcf
cf
x
.
Từ hai điều trên ta suy ra
f'
(
c
) = 0
. Định lý đã đợc chứng minh.
6.4.2. Định lý Rolle
Xét hàm số
f
xác định và liên tục trên đoạn
[
a
,
b
].
Đoạn đồ thị nối hai điểm
(
a,f
(
a
))
và
(
b,f
(
b
))
đợc gọi là cung. Ta giả sử
)()(
bfaf =
và hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
(
a,b
).
Khi ấy chắc chắn sẽ có điểm
),(
bac
để tiếp tuyến đi qua điểm
(
c,f
(
c
))
của đồ
thị sẽ song song với trục
Ox
.
Cụ thể ta có
Định lý
(Rolle):
Cho
f
là hàm liên tục trên đoạn
[
a,b
]
và có đạo hàm tại mọi
),(
bax
.
Nếu
)()(
bfaf =
thì tồn tại ít nhất một điểm
),(
bac
để
f'
(
c
)
= 0
.
Chứng minh
Từ giả thiết liên tục của
f
trên đoạn đóng
[
a,b
],
theo Định lý
Weierstrass,
hàm
f
phải đạt giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trên [
a
,
b
], tức là tồn tại
các điểm
[]
baxx
,,
21
sao cho
[]
mxfxf
bax
==
)(min)(
,
1
và
[]
Mxfxf
bax
==
)(max)(
,
2
.
Có hai khả năng:
a)
m = M
.
Khi ấy
constxf =
)(
trên [a,b], do đó
0)(
=
xf
với mọi
),(
bax
.
b)
m
<
M
.
Khi ấy vì
)()(
bfaf =
nên ít nhất một trong 2 điểm
1
x
,
2
x
sẽ không trùng
với các đầu mút
a
và
b
. Theo Định lý Fermat thì đạo hàm bằng 0 tại điểm này.
Định lý Rolle đã đợc chứng minh xong.
Thí dụ
Ta áp dụng Định lý Rolle cho hàm
f
(
x
)=cos(
x
)
trên đoạn
)5,(
.
Do
)5(1)(
ff ==
và hàm cos có đạo hàm
)sin()]'[cos(
xx =
trên toàn đoạn
)5,(
nên ta lấy
5,
== ba
thì mọi điều kiện của định lý trên đều đợc thỏa mãn.
Theo định lý này ta suy ra tồn tại điểm
)5,(
c
để
0)]'[cos(
=x
. Đó chính là các
điểm
4,3,2
=x
.
Chơng 6.
Đạo hàm
10
5
6.4.3. Định lý Lagrange về giá trị trung bình
Đây là sự tổng quát hóa Định lý Rolle. Ta biết rằng hệ số góc của đờng thẳng qua hai
điểm
(
a, f(a)
)
và
(
b, f(b)
)
trên đồ thị của hàm
f
chính là đại lợng
ab
afbf
)()(
. Vì hệ
số góc của tiếp tuyến đối với đồ thị tại điểm
(
c, f(c)
)
chính bằng
f'(c),
cho nên, nếu
đờng tiếp tuyến tại
(
c, f(c)
)
song song với dây cung nối
(
a, f
(
a
))
và
(
b
,
f
(
b
))
thì phải có
ab
afbf
cf
=
)()(
)(
.
Định lý
(Lagrange):
Cho hàm
f
liên tục trên đoạn
[
a,b
]
và có đạo hàm tại mọi điểm của
khoảng
(
a,b
)
.
Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
ab
afbf
cf
=
)()(
)(
.
Chứng minh Đặt
)(
)()(
)()(
ax
ab
afbf
xfxg
=
.
Ta có
g
(
a
) =
g
(
b
)
.
Hàm số
g
thỏa mãn mọi điều kiện của Định lý Rolle. Theo định lý
này ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
g'
(
c
)
=
0.
Chú ý rằng
ab
afbf
cfcg
=
)()(
)()(
.
Nên từ đẳng thức trên ta có ngay điều cần chứng minh.
Thí dụ
Một ô tô chuyển động trên đờng thẳng theo công thức
y
=
s
(
t
).
Ta biết rằng đại lợng
ab
asbs
)()(
là
vận tốc trung bình
của ô tô trong khoảng từ
a
đến
b
. Theo định lý giá trị trung bình
tồn tại ít nhất tại một thời điểm
c
nào đó giữa (
a,b
)
sao cho
vận tốc tức thời
của ô tô
đúng bằng
vận tốc trung bình
này.
6.4.4. Các hệ quả
Định lý
(Cauchy):
Cho các hàm
f
,
g
liên tục trên đoạn
[
a,b
]
và có đạo hàm tại mọi điểm của
khoảng
(
a,b
)
, ngoài ra
0)('
xg
trên
(
a,b
)
.
Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
=
.
Chứng minh
Từ Định lý Lagrange và điều kiện
0)('
xg
trên
(
a,b
)
ta suy ra rằng
0)()(
agbg
. Xét hàm số
Chơng 6.
Đạo hàm
10
6
)]()([
)()(
)()(
)()()(
agxg
agbg
afbf
afxfxF
=
ta thấy rằng nó thoả mãn mọi điều kiện của Định lý
Rolle. Cho nên tìm đợc
),(
bac
sao cho
0)('
=cF
. Bằng tính toán trực tiếp ta suy ra ngay đây chính là điểm cần tìm.
Hệ quả
Nếu đạo hàm của hàm số bằng
0
trên một đoạn nào đó thì hàm số đó là hằng trên
đoạn ấy
.
Chứng minh
Thật vậy, cho
a, b
là hai điểm khác nhau (bất kỳ) thuộc đoạn cho trớc.
Theo định lý giá trị trung bình ta tìm đợc điểm
c
(
a,b
)
để
0)(
)()(
=
=
cf
ab
afbf
.
Từ đây suy ra
)()(
afbf =
. Cho nên
f
là hàm hằng.
Hệ quả
Nếu hai hàm số có cùng một đạo hàm trên đoạn cho trớc thì chúng chỉ sai khác nhau
một hằng số
.
Chứng minh Suy ra từ hệ quả trên bằng cách xét hiệu của hai hàm.
107
_________________________________
Bài tập và
Tính toán thực hành Chơng 6
1. Câu hỏi củng cố lý thuyết
_______________________
Bài 1
Tìm chỗ sai trong tính toán sau rồi sửa lại cho đúng:
1) [sin(2x)]' = cos(2x);
2)
)12()2(
2][
=
xx
xee
dx
d
;
3)
[xsin(x)]' = 1+ cos(x).
Bài 2
Cho
f
(
x
) là một hàm chẵn (lẻ ), khả vi trên
),(
.
a) Chứng minh rằng f'
(
x
)
là một hàm lẻ (chẵn).
b) Điều ngợc lại có đúng không ?
2. Tính đạo hàm của hàm số thông thờng
___________
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3
23
2
35
x
xxy =
; 2)
x
ey
1
2
sin
=
;
3)
1
22
+= xxy
; 4)
42
4
++= xxy
;
5)
)2(cos
3
xy =
; 6)
)2sin(
)(cos
2
x
x
y =
;
7)
)]1ln[sin(
2
+= xy
;
3. Tính đạo hàm của hàm ẩn
_______________________
Tính đạo hàm
dx
dy
của các hàm ẩn sau:
1)
3
22
=
yx
tại (2,1) ;
2)
12
22
=+ xyyx
tại (3,1) ;
3) 742
23
=++ xxyy tại (1,1) ;
4)
4
5235
=+++ yyxxyx
tại (1,1) ;
Bài tập và tính toán thực hành
Chơng 6
10
8
5)
2)sin(
2
=+
y
xy
tại
)
2
,1(
.
4. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng
__________
Bài 1
Chứng minh rằng với mọi
11 x
ta luôn có
2
)arccos()arcsin(
=+ xx
.
Bài 2
Chứng minh rằng phơng trình
)1ln()arctan(2
2
xxx +=
có một nghiệm duy nhất
x
=
0
.
Bài 3
Cho
m
>
0 còn
a,b,c
là ba số bất kỳ thoả mãn điều kiện
0
12
=+
+
+
+ m
c
m
b
m
a
. Chứng
minh rằng phơng trình
0
2
=++ cbxax
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức
b
ba
b
a
a
ba
<
<
ln
.
Bài 5
Cho
a, b, c, d
là các số bất kỳ. Chứng minh bất đẳng thức
64
3
1
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++
+++
.
Bài 6
Chứng minh rằng biểu thức
+
+
2
1
2
arcsin)arctan(2
x
x
x
nhận giá trị
nếu
x1
và nhận giá trị
nếu
1x
.
Bài 7
Chứng minh rằng với hai số
a, b
bất kỳ
a)
baba sinsin
;
b)
baba arctanarctan
.
Bài 8
Cho hàm số liên tục
]1,0[]1,0[: f
có đạo hàm trên (0,1) thoả mãn
f(0) = 0
và
f
(
1
)
= 1
. Chứng minh rằng tồn tại
a,b
trên (0,1) sao cho
ba
và
f'(a).f'(b) = 1.
Bài 9
Chứng minh rằng
ne
xx
n
2
1
1 <
với mọi
x
thuộc (0,1) .
5. Bài tập nâng cao
______________________________
Bài 1
Cho
7
)7sin(
5
)5sin(
3
)3sin(
)sin()(
xxx
xxf +++=
. Chứng minh rằng:
2
1
9
' =
f
.
Bài tập và tính toán thực hành
Chơng 6
10
9
Bài 2
Cho hàm
( )
{
}
xmx
n
nm
!coslimlim)(
=
.
Chứng minh rằng
)(x
là hàm Dirichlet, tức là
)(x
=0 khi x là số vô tỷ và
)(x
=1
khi x là số hữu tỷ.
Suy ra
)(x
gián đoạn tại mọi điểm x.
6. Thực hành tính toán đạo hàm
____________________
Để thực hành tính đạo hàm , hãy đa vào dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
diff(f(x),x);
Trong đó
f
(
x
) là hàm số và
x
là biến số mà ta cần tính đạo hàm. Sau dấu (;), ấn phím
"Enter" thì việc tính đạo hàm sẽ đợc thực hiện và sẽ có ngay đáp số.
Thí dụ
[>
diff(x^2*sqrt(x^2+1),x);
1
12
2
3
2
+
++
x
x
xx
Muốn biểu diễn quá trình này một cách tờng minh (qua các công thức quen biết) ta
dùng các thủ tục sau đây:
Xác định hàm số bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
f:=x -> Biểu thức của x
Thiết lập công thức đạo hàm của
f
(
x
) theo biến
x
bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
Diff(f(x),x);
Tìm giá trị thực tế của biểu thức trên bằng dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
f_prim:=value(");
Muốn rút gọn biểu thức này ta dùng lệnh:
[>
simplify(");
Thí dụ
[>
f:=x->5*x^3-3*x^2-2*x^(-3);
3
23
2
35:
x
xxxf =
[>
Diff(f(x),x);
3
23
2
35
x
xx
x
[>
f_prim:=value(");
Bài tập và tính toán thực hành
Chơng 6
11
0
4
2
6
615:prim_
x
xxf +=
Thí dụ
[>
f:=x -> ((cos(x))^2/sin(2*x));
)2sin(
)cos(
:
2
x
x
xf =
[>
Diff(f(x),x);
)2sin(
)cos(
2
x
x
x
[>
f_prim:=value(");
2
2
)2sin(
)2cos()cos(
2
)2sin(
)sin()cos(
2:prim
x
xx
x
xx
f =
[>
simplify(");
2
2
)2cos(1
)cos(
2
x
x
+
.
(Lu ý rằng máy không viết
)(cos
2
x
, nh chúng ta hay viết, mà viết là
2
)cos(x
).
111
Chơng 7
________________________________
ứng dụng
của đạo hàm
7.1. Vi phân
________________________________________
7.1.1. Khái niệm
Vi phân là một khái niệm độc lập nhng có quan hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm.
Để trình bày khái niệm này ta đa ra
Định nghĩa Hàm số r(x) đợc gọi là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận
điểm a nếu nh nó thỏa mãn điều kiện sau
0
)(
lim =
a
x
xr
ax
.
Khi ấy, với
axx =
, ngời ta nói rằng
r
(
x
) là
vô cùng bé
bậc cao hơn
x
(tại lân cận
điểm
a
) và ký hiệu nó là
o
(
x
). Nếu
a =
0 thì
xx
= và trong trờng hợp này một
đại lợng vô cùng bé (bậc cao hơn
x
tại lân cận điểm gốc) sẽ đợc ký hiệu là
o
(
x
).
Nh vậy, theo định nghĩa ta có
0
)(
lim
0
=
x
xo
x
.
Nhớ lại rằng số gia của hàm số
y = f
(
x
) (tơng ứng với số gia
x
của biến số) thờng
đợc ký hiệu là y, chúng ta đa ra
Định nghĩa
Hàm
f
đợc gọi là khả vi tại điểm
),(
0
bax
nếu tồn tại một số
K
sao
cho
xKy .
là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận điểm x
0
, nghĩa là
)(.)()(:
00
xoxKxfxxfy +=+=
.
Biểu thức
xK .
đợc gọi là vi phân cấp 1 của hàm
f
tại điểm x
0
(ứng với số gia biến
số là
x
) và đợc ký hiệu là dy.
Nhận xét
Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến số độc lập đúng bằng số gia của biến số,
nghĩa là :
xdx =
. Và vì vậy ngời ta còn viết vi phân của hàm số là dy = K.dx
Thí dụ
Hàm
2
xy =
là hàm khả vi tại điểm x = 1 và có vi phân tại đó là dy = 2dx, bởi vì
222
)(.21)1( xxx +=+
mà đại lợng
2
)( x
rõ ràng là một vô cùng bé bậc cao
(dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa).
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm
11
2
7.1.2. Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân
Định lý
f
khả vi tại
x
khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại
x
.
Chứng minh Giả sử
f
khả vi tại
x
, khi đó ta có
)(. xoxKy +=
Suy ra
x
xo
K
x
y
+=
)(
, và khi cho
0
x
ta thấy rằng giới hạn
x
y
x
0
lim
là tồn tại.
Nh vậy, theo định nghĩa, hàm
f
là
có đạo hàm
tại
x
, và ngoài ra
Kxf =
)(
.
Đảo lại, giả sử
f
có đạo hàm tại
x
. Khi ấy tồn tại
)('lim
0
xf
x
y
x
=
, hay đại lợng
)(')(
xf
x
y
xu
= (*)
sẽ tiến tới 0 khi
x tiến tới 0. Nh vậy đại lợng
)(.:)( xuxxr =
sẽ là vô cùng bé
bậc cao khi
x tiến tới 0. Biểu thức (*) có thể viết lại thành
)().(')()(
xoxxfxrxxfy +=+
=
Điều này có nghĩa rằng
f
là hàm khả vi tại x, và ngoài ra
dxxfdy
).(
=
.
Nhận xét
Từ định lý trên và các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng, hàm hợp,
hàm ngợc, của các hàm số ta dễ dàng tính đợc vi phân của một hàm phức tạp
thông qua vi phân của các hàm đơn giản
Thí dụ
dvduvud =
)(
,
vduudvuvd +=)(
.
Nhận xét
Chính mối quan hệ mật thiết nêu trên giữa đạo hàm và vi phân đã dẫn đến một cách ký
hiệu đạo hàm nữa, thông qua khái niệm vi phân, đó là
f
dx
d
dx
df
,
,
dx
dy
, . Xin lu ý
rằng đây là những ký hiệu mang tính hình thức (mà không có nghĩa là thơng của 2
đại lợng).
7.1.3. Vi phân và phép tính xấp xỉ
Định nghĩa của vi phân cho thấy rằng nó là một xấp xỉ tốt của số gia hàm số tại lân cận
điểm đang xét. Độ lệch giữa nó và số gia hàm số là không đáng kể so với độ lệch của
biến số so với điểm đang xét, cho nên đại lợng
dyxf +
)(
0
sẽ là một xấp xỉ tốt của
)(
0
xxf +
. Nghĩa là
xxfxfdxxfxfdyxfxxf +=+=++
).(')()(')()()(
000000
.
Nh vậy, để có một xấp xỉ tốt của giá trị hàm số tại các điểm lân cận x
0
ta chỉ cần biết
đợc giá trị và đạo hàm của hàm số tại đúng điểm x
0
. Chúng ta hãy minh họa điều này
qua các ví dụ dới đây.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm
11
3
Thí dụ
Hãy tính
3
29
.
Ta biết rằng không thể tính chính xác đợc giá trị này, cho nên ta phải tính xấp xỉ của nó.
Đặt
3
)( xxf =
. Khi x = 27 ta tính đợc chính xác
327
3
=
. Ngoài ra ta còn biết rằng
3/2
3/2
)27(3
1
)27(
3
1
)27(' ==
f
.
Lấy
2=x
và áp dụng công thức
xafafxaf ++ )(')()(
ta đợc
2)27(')27(29
3
ff +
0741,30741,03
27
2
3 =+=+=
.
Vậy
0741,329
3
.
Tổng quát
Muốn tính giá trị hàm số
f
tại một điểm
b
nào đó thì:
1) Chọn điểm
a
gần điểm
b
mà
f
(
a
),
f
'
(
a
) là tính đợc.
2) Lấy
abx =
(
x
có thể dơng hoặc âm tùy theo vị trí của
b
).
3) Tính
xafaf + )(')(
. Đó chính là xấp xỉ của
f
(
b
). Ta viết
)(')()()( afabafbf +
.
Thí dụ
Tính giá trị xấp xỉ của hàm
y = tan(x)
tại các điểm gần
4
.
Ta có
1)
4
tan()
4
( ==
f
,
)(sec)('
2
xxf =
,
2)2()
4
(sec)
4
('
22
===
f
.
Vậy tại các điểm gần
4
hàm
tan(x)
đợc tính một cách xấp xỉ bằng
)
4
)(
4
(')
4
()(
+= xffxp
)
4
(21
+= x
.
7.2. Công thức Taylor
_______________________________
7.2.1. Đặt vấn đề
Phần trên ta đã thấy rằng hàm affine
))(()(
00
'
0
xxxfxf +
là một xấp xỉ khá tốt của hàm
f
trong lân cận của điểm
0
x
. Đây là cách xấp xỉ đơn
giản, dễ tính toán, tuy nhiên độ chính xác không thật cao (chỉ là vô cùng bé bậc cao
hơn 1 mà thôi). Khi có nhu cầu tìm một xấp xỉ với độ chính xác cao hơn, ta phải tìm ở
ngoài lớp hàm affine, và lớp hàm tự nhiên đợc để ý tới sẽ là lớp các hàm đa thức, tức
là hàm số có dạng
n
no
xaxaaxP +++= )(
1
.
Lớp hàm này tuy là phi tuyến, nhng dễ tính toán, cho nên cũng rất phổ biến. Mở rộng
trực tiếp phơng pháp xấp xỉ một hàm bằng vi phân đã đa đến phơng pháp dùng đa
thức Taylor mô tả dới đây.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét