Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
+ Nếu m 3
0
m
3 phơng trình (3) có a b + c = 0, nên có 2 nghiệm
3
22
;1
21
==
m
m
xx
.
Kết luận:
Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0) (*) thì ta cần
+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm
+ Xét a
0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để
giải quyết đợc tôi đã định hớng để học sinh thấy đợc khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT
bậc 2 nhẩm đợc nghiệm.
VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình
0155
23
=+
xxx
(4)
H ớng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 5 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.
Khi đó ta đa PT (4) về dạng: (x -1)(5x
2
+ 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x
2
+ 6x + 1 = 0
Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= -1; x
3
=
5
1
VD3:
Giải phơng trình :
+
4
x
(x +1)(5x
2
- 6x - 6 ) = 0
H ớng dẫn : Phơng trình trên có dạng
+
4
x
5x
2
(x +1) 6 ( x+ 1)
2
= 0 (5)
Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)
2
ta
đợc:
2
2
1
+
x
x
+ 5.
1
2
+
x
x
- 6 = 0
Đặt
1
2
+
x
x
= X; ta đợc
2
X
+ 5
X
6 = 0
Dễ dàng nhẩm đợc
1
X
= 1 ;
2
X
= -6
Sau đó giải tiếp tìm đợc x
Dạng 2:
Tính giá trị của một biểu thức
giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
I. Phơng pháp giải
2.1 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của một phơng trình.
ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các
nghiệm.
Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x
1
+ x
2
và P = x
1
x
2
nhờ đó có
thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình.
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 6 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
II. Một số ví dụ
VD1: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x
2
cx + 2c -1 = 0. Tính
theo c giá trị của biểu thức A =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
Giải: Theo định lý viét ta có:
1 2
1 2
3
2 1
.
3
c
x x
c
x x
+ =
=
S =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
=
3
2
3
1
3
1
3
2
.xx
xx
+
=
( ) ( )
3
2
3
1
2121
3
21
.
3
xx
xxxxxx
++
S =
3
3
3
12
3
.
3
12
.3
3
c
ccc
=
( )
( )
2
2
12
918
+
+
c
ccc
VD2: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nhỏ
của phơng trình bậc hai : x
2
-
0
16
5
1
4
85
=+
x
(*)
H ớng dẫn : Phơng trình (*) có
85 21 1
4.
16 16 16
= =
0
Phơng trình (*) có 2 nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
. Không mất tính tổng quát. Giả sử x
1
x
2
.
áp dụng định lý viét, ta có S = x
1
+ x
2
=
4
85
và P = x
1
. x
2
=
16
21
ta có
3
2
3
1
xx
= (x
1
- x
2
)
( )
21
2
2
2
1
xxxx
++
= (x
1
- x
2
)
( )
[ ]
21
2
21
xxxx
+
Do x
1
x
2
nên
x
1
- x
2
=
( )
2
21
xx
=
21
2
2
2
1
2 xxxx
+
=
( )
21
2
21
4 xxxx
+
Vậy
3
2
3
1
xx
=
( )
2 2
4 .S P S P
=
16
21
16
85
.
16
84
16
85
=
16
64
.
4
1
= 1
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tính
S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi
biểu thức đã cho nhằm xuất hiện S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức.
VD3: Cho phơng trình
035
2
=+
xx
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
Tính giá trị của biểu thức A =
12
21
+
xx
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi- Hải Dơng năm học 2005-2006)
H ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tuy
vậy nếu để ý kỹ ta thấy
( )
2
11
22
=
xx
Có x
1
+ x
2
= 5; x
1
. x
2
= 3
x
1
0
, x
2
0
Vì x
1
là nghiệm của phơng trình
035
2
=+
xx
nên
035
1
2
1
=+
xx
144
11
2
1
+=+
xxx
( )
12
1
2
1
+=
xx
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 7 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
( )
2
1
2
x
=
1
1
+
x
1
1
+
x
=
2
1
x
Khi đó A =
11
21
++
xx
122
212121
2
+++++=
xxxxxxA
2
A
= 5 + 2 - 2
1135
=++
A = 1 ( vì A
0
)
ở VD3 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế
tắc. Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế
2
1
x
bởi
1
1
+
x
nh trên, sau đó mới bình ph-
ơng 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đợc một cách dễ dàng .
Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao
của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là một phơng án đôi khi giúp cho
việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phơng trình
2
0ax bx c+ + =
có 2 nghiệm x
1
, x
2
và
S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
. Khi đó :
( )
PSxxxxxxx
=+=
121121
2
1
3
1
x
=
( )
1
2
111
2
11
PxSxPSxxxx
==
=
( )
11
2
11
. PxSPxSPxPSxS
=
=
( )
SPxPS
1
2
( ) ( )
PSPxSPSxxx
==
2
1
33
11
4
1
2.
.
VD 4: Cho phơng trình
012
2
=
xx
, có 2 nghiệm x
1
, x
2
( )
0
2
x
Tính giá trị của các biểu thức :
A =
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
12
1
2
1
+=
xx
;
12
2
2
2
+=
xx
( )
251.214
22
3
2
+=++=
xxx
( ) ( )
51214.1.1.2.28
11
4
1
+=+++=
xxx
512
2
4
2
+=
xx
( )
1
2
111
4
11
5
1
512512 xxxxxxx
+=+==
=
( )
122951212
111
+=++
xxx
Ta có :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
404)(18
41818
8836410512
88)12(3)25(2512
21
21
2121
2121
=++=
++=
++++++=
++++++=
xx
xx
xxxx
xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 8 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
=
( )
2
2
21
2
11
2
1
812
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
12
2
3
13
21
+
xx
Vì phơng trình có ac = -1
0 nên
1
x
,
2
x
trái dấu mà
00
12
xx
. Khi đó:
B = 3
( )
12
2
3
1
21
++
xx
B = 3
( )
2
1
.3
2
3
13
2121
+=++
xxxx
= 3.2 -
1 11
2 2
=
2.2 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình.
Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình . Để làm
đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế một
cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức đó.
VD5: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình
01
2
=++
axx
và
43
, xx
là nghiệm của
phơng trình
01
2
=++
bxx
.
Tính giá trị của biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( )
42413231
xxxxxxxx
++
theo a và b.
H ớng dẫn : Theo hệ thức Viét ta có:
=
=+
1.
21
21
xx
axx
và
=
=+
1.
43
43
xx
bxx
Do đó:
( ) ( )
433241214231
. xxxxxxxxxxxx
+=+
= 1 +
1
3241
xxxx
=
3241
xxxx
và
( ) ( )
=+
4132
. xxxx
43314221
xxxxxxxx
+
= 1 +
1
3142
xxxx
=
3142
xxxx
M =
( ) ( )
31423241
. xxxxxxxx
M =
2
32143
2
243
2
1
2
421
xxxxxxxxxxxx
+
M =
2
3
2
2
2
1
2
4
xxxx
+
M=
( ) ( )
2
2
2
1
2
4
2
3
xxxx
++
M=
( )
[ ]
( )
[ ]
21
2
2143
2
43
2.2 xxxxxxxx
++
M=
( ) ( )
2222
22 abab
=
VD6: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++
pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++
qxx
Chứng minh hệ thức:
( ) ( )
6.
=
pqcbab
H ớng dẫn : Vì a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++
pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++
qxx
nên theo định lý Viét ta có
:
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 9 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
=
=+
1ab
pba
;
=
=+
2bc
qcb
Ta có
( ) ( )
cbab
.
=
acbcabb
+
2
=
( )
bcabacbcabb
++++
2
2
= b
( ) ( ) ( )
bcabbacba
++++
2
=
( )( ) ( )
bcabcbba
+++
2
=
( )( ) ( )
6212
=+
pqqp
( Điều phải chứng minh)
Bài tập áp dụng :
BT1. Cho phơng trình :
022
2
= xx
Không tính nghiệm của phơng trình. hãy tính:
a.
3
2
3
1
xx
+
b.
21
xx
c.
11
1
2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x
BT2. Cho phơng trình :
0135
2
=
xx
Không tính nghiệm của phơng trình , hãy tìm giá trị
của mỗi biểu thức:
A=
2
21
3
22
2
1
3
1
3232 xxxxxx
+
B =
11
1
2
1
2
2
1
2
1
+
++
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
-
21
11
xx
C.
1221
22 xxxx
+
BT3. Cho phơng trình
07
2
=+++
mmxx
. Không tính nghiệm
1
x
và
2
x
theo m, hãy tính .
A =
2
2
2
1
xx
+
B =
11
1
2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x
C =
2
212
2
1
2
221
2
1
434
xxxx
xxxx
+
+
BT4. Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax
( )
0
a
có 2 nghiệm
21
; xx
.Tính theo a, b, c các biểu
thức : A =
( )( )
1221
3535 xxxx
B =
21
2
12
1
33 xx
x
xx
x
+
BT5. Cho phơng trình
015
2
=
xx
, gọi
21
; xx
là các nghiệm của phơng trình trên.
Tính :
A =
( ) ( )
14.14
2
2
21
2
1
xxxx
B =
( ) ( )
25.25
2
2
3
2
2
1
3
1
++
xxxx
BT6. Cho phơng trình
( )
0334
22
=+++
aaxax
, gọi
21
; xx
là 2 nghiệm của phơng trình.
Tìm giá trị của a để:
9
8
11
2
2
2
1
2
1
=
+
x
ax
x
ax
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dơng, năm học: 2002 -2003)
BT7. Cho phơng trình
01
2
=
xx
có 2 nghiệm
21
; xx
. hãy tính giá trị của biểu thức
A =
21
3xx
B =
2
6
2
8
1
13xxx
++
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 10 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
BT8. Cho phơng trình
01
2
=+
xx
, gọi
1
x
là nghiệm âm của phơng trình.
Tính giá trị của biểu thức. C =
11
8
1
1310 xxx
+++
BT9.Cho phơng trình
( )
00
2
=++
acbxax
có 2 nghiệm
21
; xx
.thoả mãn
2
21
xx
=
CMR :
abcaccab 3
223
=++
BT10. Giả sử phơng trình
0
2
=++
baxx
có nghiệm
21
; xx
và phơng trình
0
2
=++
dcxx
có
nghiệm
.,
43
xx
CMR : 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
dbcadbcadbxxxxxxxx
+++=++++
2
22
2
42324131
2
Dạng 3:
tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
I. Phơng pháp giải
Nếu hai số U và V có tổng U + V = S và tích U.V = P thì U và V là nghiệm của phơng trình .
0
2
=+
PSxx
(*) . Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là
04
2
=
PS
hay
PS 4
2
. Đó
chính là điều kiện tồn tại hai số U và V mà tổng U + V = S và U .V = P . Nh vậy khi biết
tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình bậc hai.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm 2 số a, b biết
a. a + b = 10 và ab = 32
b. a + b = 5 và a
2
+b
2
= 13
c. a b = 2 và ab = 80
d. a
2
+b
2
= 29 và ab = 10
H ớng dẫn :
a. Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phơng trình x
2
-10x + 32 = 0. Vì có
S
2
P4
( hay
0
) nên PT trên vô nghiệm hay không tồn tại hai số a, b thoả mãn điêu kiện
đầu bài
ở VD này dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trớc hết ta phải xác định đợc a.b ( phần b ;
a + b ( ở phần c;d.
b. Có
ab2135
2
+=
2ab = 12
ab =6
Nên a, b là nghiệm của phơng trình :
065
2
=+
xx
Giải phơng trình này ta đợc
2;3
21
==
xx
. Vậy a = 3 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 3.
c. ó a - b = 2
a+ (-b) = 2
a.b = 80
a.(-b) = -80
a và -b là nghiệm của phơng trình
0802
2
=
xx
. Giải phơng trình đợc
8;10
21
==
xx
.
vậy a= 10 và b = 8 hoặc a = -8 và b = -10.
d.Có
=
=+
10
29
22
ab
ba
=
=+
10
102)(
2
ab
abba
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 11 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
=
=+
10
49)(
2
ab
ba
a+ b = 7 ;ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10
Nếu a + b = 7 và ab = 10
a, b là 2 nghiệm của phơng trình
0107
2
=+
xx
, giải phơng trình đợc
5;2
21
==
xx
a= -2 và b = -5 hoặc a= -5 và b = -2.
VD2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b
2
( a,b
0 cho trớc).
H ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật (
ayx 2;0
) .
Theo giả thiết ta có x + y = 2a
x.y =
2
b
Do đó x, y là nghiệm của phơng trình
02
22
=+
baXX
(1)
Có
( ) ( )
bababa
+==
.
22
Vì a, b
0
a+b
0
+ Nếu a
b
0
Phơng trình (1) có nghiệm là :
22
1
baaX
+=
22
2
baaX
=
Vì P
0
, S
0
0
12
XX
.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:
=
+=
22
22
baay
baax
hoặc
+=
=
22
22
baay
baax
Nếu a = b
= 0 (1) có nghiệm kép là
axx
==
21
.
Khi đó hình chữ nhật là hình vuông cạnh a.
Nếu a
b
0
(1) vô nghiệm . Khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn điều kiện
đầu bài.
VD3 : Giải các hệ phơng trình sau:
a.
=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
b.
=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx
Nhận xét : Để giải hệ phơng trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y và xy sau đó
đa về phơng trình bậc 2 đã biết cách giải.
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 12 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
a.
=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
( )
( )
=+
=++
7
5
2
xyyx
xyyx
( )
( )
=+++
=++
012)(
5
2
yxyx
xyyx
(I) Đặt
=
+=
xyp
yxS
(I)
=+
=+
012
5
2
SS
PS
==
=+
4;3
5
SS
PS
=+
=
=+
=
5
4
5
3
PS
S
PS
S
=
=
=
=
)2(
9
4
)1(
2
3
P
S
P
S
Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phơng trình
023
2
=+
tt
1;2
21
==
tt
Vậy (1) có 2 nghiệm (1; 2) ; (2; 1)
Giải (2): Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phơng trình
094
2
=++
tt
vì phơng trình
094
2
=++
tt
có
0
nên trờng hợp này vô nghiệm.
Vậy các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là ( x;y) = ( 2; 1) và (1; 2)
b. Có :
=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx
( )
=++++
=+
=++
14)(2
7
6
2
xzyzxyzyx
zxyzxy
zyx
=+
=+
=++
)3(9)(
)2(7
)1(6
zxy
zxyzxy
zyx
=+
=+
=++
)3(9)(
)2(7
)1(6)(
zxy
zxyzxy
yzx
Từ (1) và (3) theo định lí Viét
y và x+z là các nghiệm của phơng trình
096
2
=+
tt
( )
03
2
=
t
t = 3
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 13 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
từ (1) (2) và (3)
=
+
=
)6(2.
)5(
)4(3
zx
zx
y
Từ (5) và (6) Theo định lí Viet
x và z là các nghiệm của phơng trình
023
2
=+
tt
2;1
21
==
tt
Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x, y, z) = ( 1; 3; 2) ; (2; 3; 1).
Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã
đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ
là y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet.
Bài tập áp dụng:
BT1.Tìm 2 số biết :
a. Tổng là 18 và tích là 45
b. Tổng là 4 và tích là -12
c. Tổng là -10 và tích là 16
d.Tổng là 2+
3
và tích là 2
3
e.Tổng là 4
7
và tích là -17
BT2. Tìm 2 số x,y biết:
a. x y = 9 và x.y = 90
b.
625
22
=+
yx
và x+y = 35
c.
164
22
=+
yx
và x-y = 2
d.
208
22
=+
yx
và x.y = 96
e.
52
22
=++
xyyx
và x+y = 8
BT3. Tìm 2 số x,y biết:
a.
34
22
=+
yx
và x.y = 15
b.
10
22
=+
yx
và x+y xy = 5
c.
2
22
=
yx
và xy = -
3
d. x-y = 5 và xy = 66
e.
177
33
=+
yx
và xy = -1
BT4. Tìm 3 số x, y, z biết: x + y + z = 7; xy + yz - xz = 10; x
2
+ y
2
+ z
2
= 21
Dạng 4:
xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai
I. Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai:
0
2
=++
cbxax
(a
)0
Có
acb 4
2
=
P =
a
c
xx
=
21
S =
a
b
xx
=+
21
Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho
trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta
có thể ứng dụng định lí Viét .
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 14 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
1. Phơng trình có 2 nghiệm dơng
0
0
0
S
P
2. Phơng trình có 2 nghiệm âm
0
0
0
S
P
3. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P
0
Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không
âm. Thờng có 2 cách giải:
Cách 1: Có P
0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:
0
0
0
S
P
Thì hai nghiệm đều dơng.
Cách 2:
Trớc hết phải có
0
khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
0
S
( Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)
Hoặc S = 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc
0,0
PS
( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm cùng dấu . Khi đó 2 nghiệm mang
dấu gì ?
a.
0452
2
=+
mmxx
(1)
Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 15 -
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét